Transformasi geometri

Rumus pada transformasi geometri akan memudahkan sobat untuk menentukan hasil transformasi tanpa harus menggambarnya dalam bidang kartesius terlebih dahulu. Meskipun begitu, ilustrasi gambar tentang transformasi juga dapat memberikan tambahan pemahaman buat sobat idschool. Untuk itu, mari simak pembahasan mengenai translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi pada penjabaran materi di bawah.

Translasi (Pergeseran)

Materi pertama tentang rumus transformasi geometri yang akan dibahas adalah translasi (pergeseran). Translasi merupakan perubahan objek dengan cara menggeser objek dari satu posisi ke posisi lainnya dengan jarak tertentu. Penentuan hasil objek melalui translasi cukup mudah. Caranya hanya dengan menambahkan absis dan ordinat dengan jarak tertentu sesuai dengan ketentuan. Untuk lebih jelasnya mengenai proses translasi dapat dilihat pada gambar di bawah.

Refleksi (Pencerminan)

Pembahasan berikutnya adalah pencerminan atau yang lebih sering disebut dengan refleksi. Seperti halnya bayangan benda yang terbentuk dari sebuah cermin. Sebuah objek yang mengalami refleksi akan memiliki bayangan benda yang dihasilkan oleh sebuah cermin. Hasil dari refleksi dalam bidang kartesius tergantung sumbu yang menjadi cerminnya. Pembahasan materi refleksi yang akan diberikan ada tujuh jenis. Jenis-jenis tersebut antara lain adalah refleksi terhadap sumbu x, sumbu y, garis y = x, garis y = -x, titik O (0,0), garis x = h, dan garis y = k. Berikut ini adalah ringkasan daftar matriks transformasi pada refleksi/pencerminan.

Selanjutnya, mari perhatikan uraian matriks transformasi untuk setiap jenisnya.

Pencerminan terhadap sumbu x

Pencerminan Terhadap Sumbu y

Pencerminan terhadap Garis y = x

Pencerminan terhadap Garis y = – x

Transformasi Geomteri Refleksi terhadap garis y = -x

Pencerminan terhadap Titik Asal O(0,0)

Pencerminan terhadap Garis x = h

Pencerminan terhadap Garis y = k

Rotasi (Perputaran)

Rotasi atau perputaran merupakan perubahan kedudukan objek dengan cara diputar melalui pusat dan sudut tertentu. Besarnya rotasi dalam transformasi geometri sebesar $\alpha$ disepakati untuk arah yang berlawanan dengan arah jalan jarum jam. Jika arah perputaran rotasi suatu benda searah dengan jarum jam, maka sudut yang dibentuk adalah $- \alpha$ . Hasil rotasi suatu objek tergantung dari pusat dan besar sudut rotasi. Perhatikan perubahan letak kedudukan segitiga yang diputar sebesar $135^{o}$ dengan pusat $O(0,0)$ pada gambar di bawah.

Mendapatkan hasil rotasi dengan cara menggambarnya terlebih dahulu akan sangat tidak efektif. Ada cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan hasil objek hasil rotasi, yaitu dengan menggunakan rumus transformasi geometri untuk rotasi. Simak lebih lanjut rumusnya pada pembahasan di bawah.

Rotasi dengan Pusat $O(0,0)$ sebesar $\alpha$

Rotasi dengan Pusat (m,n) sebesar $\alpha$

Rotasi dengan pusat (0,0) sebesar $\alpha$ kemudian sebesar $\beta$

Rotasi dengan pusat P(m,n) sebesar $\alpha$ kemudian sebesar $\beta$

Dilatasi

Dilatasi disebut juga dengan perbesaran atau pengecilan suatu objek. Jika transformasi pada translasi, refleksi, dan rotasi hanya mengubah posisi benda, maka dilatasi melakukan transformasi geometri dengan merubah ukuran benda. Ukuran benda dapat menjadi lebih besar atau lebih kecil. Perubahan ini bergantung pada skala yang menjadi faktor pengalinya. Rumus dalam dilatasi ada dua, yang dibedakan berdasarkan pusatnya. Selanjutnya perhatikan uraian rumus untuk transformasi geometri pada dilatasi di bawah.

Dilatasi titik $A(a, b)$ terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala m

Dilatasi titik $A(a, b)$ terhadap pusat P(k,l) dengan faktor skala m

Contoh Soal dan Pembahasan

Contoh Soal Translasi
Hasil translasi itik $P_{1}(3, -2)$ oleh $T_{1}$ dilanjutkan dengan $T_{2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ menghasilkan titik $P_{2}(8, 7)$ . Komponen translasi dari $T_{1}$ yang sesuai adalah ….

$\textrm{A.} \; \; \; \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix}$

$\textrm{B.} \; \; \; \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix}$

$\textrm{C.} \; \; \; \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$

$\textrm{D.} \; \; \; \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \end{pmatrix}$

$\textrm{E.} \; \; \; \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}$

Pembahasan:
Misalkan

$T_{1} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$

Diketahui:

$T_{2} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$

Maka

$T_{2} \bullet T_{1} = \begin{pmatrix} a + 4 \\ b + 1 \end{pmatrix}$

Perhatikan proses translasi berikut.

Mencari nilai a:

$3 + a + 2 = 8$

$a + 5 = 8$

$a = 8 - 5 = 3$

Mencari nilai b:

$-2 + b + 1 = 7$

$b - 1 = 7$

$b = 7 + 1 = 8$

Jadi, nilai translasi dari $T_{1}$ adalah

$T_{1} = \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \end{pmatrix}$

Jawaban: B

Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Refleksi

Persamaan garis $3x - y - 11 = 0$ karena refleksi terhadap garis y = x, dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks $\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ adalah ….

$\textrm{A.} \; \; \; -2x - 7y -11 = 0$

$\textrm{B.} \; \; \; 2x + 7y - 11 = 0$

$\textrm{C.} \; \; \; -2x - 7y + 11 = 0$

$\textrm{D.} \; \; \; 2y - 7x + 11 = 0$

$\textrm{E.} \; \; \; 2x - 7y + 11 = 0$

Pembahasan:
Pencerminan terhadap garis $y = x$ adalah:

Berdasarkan rumus di atas, dapat diperoleh kesimpulan bahwa $x' = y$ dan $y' = x$ . Substitusikan nilai tersebut pada persamaan $3x - y - 11 = 0$ sehingga diperoleh persamaan berikut.

$3x - y -11 = 0$

$3y' - x' - 11 = 0$

$- x' + 3y'- 11 = 0$

Selanjutnya adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks $\begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ :

$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3x' + 2y' \\ -x' + y' \end{pmatrix}$

Sehingga, diperoleh dua persamaan berikut.

$-3x' + 2y' = x''$

$-x' + y' = y''$

Mencari nilai $x'$ :

Mencari nilai $y'$ :

Subtitusi hasil $x'$ dan $y'$ di atas pada persamaan – x’ + 3y’- 11 = 0:

$-x' + 3y' - 11 = 0$

$-\left( 2y'' - x'' \right) + 3\left( 3y'' - x'' \right) - 11 = 0$

$-2y'' + x'' + 9y'' - 3x'' - 11 = 0$

$-2x'' + 7y'' - 11 = 0$

$2x'' - 7y'' + 11 = 0$

Jadi, hasil akhir transformasi dari persamaan 3x – y – 11 = 0 adalah 2x – 7y + 11 = 0.

Jawaban: E

Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Rotasi
Hasil pencerminan garis x – 2y -2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan $R\left[ O(0,0), \; 90^{o}\right]$ adalah ….

$\textrm{A.} \; \; \; 2x - y - 4 = 0$

$\textrm{B.} \; \; \; x - 2y - 4 = 0$

$\textrm{C.} \; \; \; x - 2y - 2 = 0$

$\textrm{D.} \; \; \; 2x - y + 2 = 0$

$\textrm{E.} \; \; \; 2x - y - 4 = 0$

Pembahasan:
Hasil transformasi pencerminan terhadap sumbu y adalah:

Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Refleksi

Sehingga diperoleh x’ = – x dan y’ = y, selanjutnya substitusikan kedua nilai yang diperoleh pada persamaan x – 2y – 2 = 0.

$x - 2y - 2 = 0$

$-x' - 2y' - 2 = 0$

Transformasi selanjutnya adalah rotasi sebesar $90^{o}$ yang berpusat di $O(0,0)$ :

$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos \; 90^{o} & -sin \; 90^{o} \\ sin \; 90^{o} & cos \; 90^{o} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y' \\ x' \end{pmatrix}$

Substitusi nilai x’ = y’’ dan y’ = – x’’ pada persamaan -x’ – 2y’ – 2 = 0, akan diperoleh

$-x' - 2y' - 2 = 0$

$-y'' - 2(-x'') - 2 = 0$

$-y'' + 2x'' - 2 = 0$

$2x'' - y'' + 2 = 0$

Jadi, hasil pencerminan garis x – 2y -2 = 0 terhadap sumbu y dan kemudian diputar dengan $R[ O, 90^{o}]$ adalah 2x – y + 2 = 0.

Jawaban: D

Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri Dilatasi
Dilatasi yang berpusat di titik (3, 1) dengan faktor skala 3, memetakan titik (5, b) ke titik (a, 10). Maka nilai a – b adalah ….

$\textrm{A.} \; \; \; 15$

$\textrm{B.} \; \; \; 11$

$\textrm{C.} \; \; \; 7$

$\textrm{D.} \; \; \; 4$

$\textrm{E.} \; \; \; 2$

Pembahasan:
Dilatasi dengan pusat (3, 1) dengan faktor skala 3 akan menghasilkan matriks transformasi berikut.

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ b- 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ b- 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3b - 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} a \\ 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3b - 2 \end{pmatrix}$

Sehingga diperoleh nilai

$a = 8$

$3b - 2 = 10 \rightarrow 3b = 12 \rightarrow b = 4$

Jadi, nilai $a - b = 8 - 4 = 4$ .
Jawaban: C

Fungsi komposisi

KD 3.6 Menjelaskan operasi komposisi pada fungsi dan operasi invers pada fungsi invers serta sifat-sifatnya serta menentukan eksistensinya Indikator : Menentukan definisi, sifat-sifat, dan hasil operasi komposisi fungsi Tujuan Pembelajaran : Peserta didik dapat menentukan definisi, sifat-sifat, dan hasil operasi komposisi fungsi Kelas : X IPS 2 Assalamu’alaikum Wr. Wb. Bagaimana kabarnya shalih shalihah? Semoga semuanya dalam keadaan sehat dan selalu dalam lindungan Allah SWT. Jangan lupa sholat dhuha dan dzuhurnya ya. Sebelum memulai pelajaran Matematika hari ini jangan lupa kita mengucapkan lafadz basmallah.. Hari ini Bu Siska akan memberikan materi tentang Fungsi Komposisi melalui link dibawah ini.. Latihan soal 1. Diketahui f(x) = x+2 , g(x) = -3x+1 , h(x) = x 2 - 1 . Tentukan (gofoh) (-1)! 2. Diketahui f(x)= 2x+p dan g(x)=5x+120 jika gof (x) = fog (x) tentukan nilai p! Silahkan kirim catatan dan latihannya ke emal siskaok31@gmail.com Sem...

Baca selengkapnya

Cari Blog Ini