Induksi matematika

Kelas XI IPS 1 KD 3.1 3.1 Menjelaskan metode pembuktian pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian dengan induksi matematika. 4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian. Pertemuan : 1X pertemuan (2jam) Induksi Matematika Induksi matematika menjadi sebuah metode pembuktian secara deduktif yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah. Dimana merupakan suatu proses atau aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan berdasarkan pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga pada pernyataan khusus atau tertentu juga bisa berlaku benar. Dalam induksi matematika ini, variabel dari suatu perumusan dibuktikan sebagai anggota dari himpunan bilangan asli. Ada tiga langkah dalam induksi matematika yang diperlukan untuk membuktikan suatu rumus atau pernyataan. Langkah-langkah tersebut adalah : Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1. Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1. Untuk menerapkan induksi matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P (k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk meyatakan persamaan P (k + 1), substitusikan kuantitas k + 1 kedalam pernyataan P(k). Jenis Induksi Matematika Deret Bilangan Sebagai ilustrasi dibuktikan secara induksi matematika bahwa 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{1}{2}n(n + 1). Langkah 1 untuk n = 1, maka : 1 = \frac{1}{2}n(n + 1) 1 = \frac{1}{2}(1)(1 + 1) 1 = 1 Bentuk untuk n = 1 rumus tersebut benar. Langkah 2 Misal rumus benar untuk n = k, maka: 1 + 2 + 3 + \cdots + k = \frac{1}{2}k(k + 1) Langkah 3 Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Sehingga: 1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} (k + 1)((k + 1) + 1) Pembuktiannya: 1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} k(k + 1) + (k + 1) (dalam langkah 2, kedua ruas ditambah k + 1) = \frac{1}{2}k (k + 1) +\frac{1}{2} [2(k + 1)] . (k + 1) dimodifikasi menyerupai \frac{1}{2} k (k + 1)) = \frac{1}{2}[k(k + 1) + 2(k + 1)] (penyederhanaan) = \frac{1}{2}(k^2 + k + 2k + 2) = \frac{1}{2}(k^2 + 3k + 2) 1 + 2 + 3 + \cdots + k + (k + 1) = \frac{1}{2} (k + 1)(k + 2) (terbukti) Bilangan bulat hasil pembagian Suatu bilangan dikatakan habis dibagi jika hasil pembagian tersebut adalah bilangan bulat. Sebagai ilustrasi, dibuktikan secara induksi matematika bahwa 5^{2n} + 3n - 1 habis dibagi 9. Langkah 1 untuk n = 1, maka: 5^{2n} + 3n - 1 = 5^{2(1)} + 3(1) - 1 =5^2 + 3 - 1 = 27 27 habis dibagi 9, maka n = 1 benar. Langkah 2 Misal rumus benar untuk n = k, maka : 5^{2n} + 3n -1 \overset {menjadi}{\rightarrow} 5^{2k} + 3k - 1 (habis dibagi 9) 5^{2k} + 3k - 1 =9b (b merupakah hasil bagi 5^{2k} + 3k - 1 oleh 9) Langkah 3 Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n = k + 1. Pembuktian: 5^{2(k + 1)} + 3(k + 1) - 1 = 5^{2k + 2} + 3k + 3 - 1 = 5^2 (5^2k) + 3k + 3 -1 kemudian (5^{2k}) dimodifikasi dengan memasukan 5^{2k} + 3k - 1. = 25 (5^{2k} + 3k - 1) - 75k + 25 + 3k + 3 -1 = 25(5^{2k} + 3k -1) - 72k + 27 = 25 (9b) - 72k + 27 = 9 (25b - 8k + 3) … akan habis dibagi oleh 9 (terbukti) Contoh Soal Induksi Matematika dan Pembahasan Contoh Soal 1 Buktikan bahwa 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = \frac{1}{4} n^2 (n + 1)^2. Pembahasan: Langkah 1 1^3 = \frac{1}{4}(1)^2(1 + 1)^2 = \frac{2^2}{4} 1 = 1 (terbukti) Langkah 2 (n = k) 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 = \frac{1}{4}k^2(k + 1)^2 Langkah 3 (n = k + 1) 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3(k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k + 2)^3. 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1 )^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}k^2(k + 1)^2 + (k + 1)^3 (kedua ruas ditambah (k + 1)^3. 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + (k + 1)^3= (k + 1)^2 (\frac{1}{4}k^2 + (k + 1)) 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k +1)^3 = (k + 1) 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2 (k^2 + 4k + 4) 1^3 + 2^3 +3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)(k + 2) 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + k^3 + (k + 1)^3 = \frac{1}{4}(k + 1)^2(k + 2)^2 {terbukti). Contoh Soal 2 Buktikan bahwa \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{n}{2^n} = 2 - \frac{n + 2}{2^n} Pembahasan: Langkah 1 \frac{1}{2} = 2 - \frac{(1)+2}{2^1} = 2 - \frac{3}{2} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (terbukti) Langkah 2 (n = k) \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \cdots + \frac{2}{2^k} = 2 - \frac{k + 2}{2^k} Langkah 3 (n = k + 1) \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} = 2 - \frac{k + 3}{2 ^{k +1}} Dibuktikan dengan: = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \cdots + \frac{k}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} = 2 - \frac{k + 2}{2^k} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} (kedua ruas dikali \frac{k+1}{2^{k+1}}) = 2 - \frac{2(k + 2)}{2^{(k + 1)}} + \frac{k + 1}{2^{k +1}} (2k dimodifikasi menjadi 2k+1) = 2 -\frac{2k + 4}{2^{(k + 1)}} + \frac{k + 1}{2^{k + 1}} = 2 + \frac{k + 1 - (2k + 4))}{2^{(k + 1)}} = 2 - \frac{k + 3}{2^{(k + 1)}} (terbukti) Contoh Soal 3 Buktikan bahwa 3^{2n} + 2{2n + 2} habis dibagi 5. Pembahasan: Langkah 1 3^{2(1)} + 2^{2(1)+2} = 3^2 + 2^4 = 9 + 16 = 25 habis dibagi 5 (terbukti) Langkah 2 (n = k) 3^{2k} + 2^{2k+2} Langkah 3 (n = k + 1) 3^{2(k+1)} + 2^{2(k+1)+2} = 3^{2k+2} + 2^{2k+2+2} = 3^2(3^{2k}) + 2^2(2^{2k+2}) (dalam kurung dibuat sama dengan bentuk soal) =10(3^{2k}) + 5(2^{2k+2}) - 3^{2k} - 2^{2k+2} (3^2 dibuat 10 dan 2^2 dibuat 5, agar bisa dibagi 5) = 10(3^{2k}) + 5(2^{2k+2}) - (3^{2k} + 2^{2k+2}) Didapatkan : 10(3^{2k}) habis dibagi 5 5(2^{2k+2})habis dibagi 5 -(3^{2k}) + 2^{2k+2}sama dengan langkah 2, habis dibagi 5